Lineárne rovnice popisovať rovné čiary alebo ploché multidimenzionálne povrchy . Sústavy lineárnych rovníc sú sady lineárnych rovníc . Oni sú nájdenie v mnohých vedeckých a technických odborov . Lineárne rovnice sa používajú štatistiky , inžinierstvo , fyzika , financií a ekonomiky . Daný systém lineárnych rovníc môže spadať do jednej z troch kategórií . Na účely tohto článku sa po dvojrozmerný systém bude použitý ako príklad : v práčke práčke 4x + 5y = 1 v práčke 4x – 2y = 2 lineárnych rovníc nomenklatúra
hodnosť sústavy lineárnych rovníc je počet lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov matice koeficientov tohto systému . Koeficienty matice je mriežka z čísel, ktoré predchádzajú systémové premenné . V našom príklade , koeficienty matice by : Prihlásiť
4 5
4 -2
Pre riadok ( alebo stĺpec ) bude lineárne nezávislé iného riadku ( alebo stĺpce ) , musí byť v prípade , že jeden riadok ( alebo stĺpec ) nemožno vyrobiť lineárna kombináciou iného riadku ( alebo stĺpce ) . Nemali by ste byť schopní viac všetky prvky radu 1 jediným číslom , aby si riadok 2. Je vidieť , že všetky stĺpce v našom príklade koeficienty matice sú lineárne nezávislé , pretože neexistuje jediné číslo, ktoré by nám umožnilo násobiť 4 sa dostať 5 a -2 . Môžete tiež vidieť , že riadky v našom príklade matice sú lineárne nezávislé . Neexistuje jediné číslo , ktoré po vynásobení 4 produkuje 4 , a po vynásobení 5 produkuje -2 . To znamená , že poradie nášho príkladu systému je 2.
rozšírená matica je kombinácia koeficientov matice a roztok vektora . V našom príklade by rozšírená matica je : Prihlásiť
4 5 1
4 -2 2
Pretože matica má dva riadky , najvyššiu hodnotu hodnosť rozšírenej matice môže byť prípadne je 2. Preto je v tomto príklade , hodnosť rozšírenej matice je rovná hodnosti matice koeficientov .
Rozšírenie systému
V našom príklade systému rovníc , existujú len dve premenné . Rovnice opisujú riadky v dvojrozmernom priestore . Ak by sme mali pridať ďalšiu sadu premenných rovnice by sa dala popísať roviny v trojrozmernom priestore . To môže byť rozšírená na viac rozmerov . Miesto premýšľanie , pokiaľ ide o systémy s konkrétnym počtom premenných , môžeme myslieť , pokiaľ ide o všeobecný systém s n premennými . To nám umožňuje zaradiť všeobecné vlastnosti všetkých systémov rovníc , bez ohľadu na počet premenných v systéme .
No Solution
Ak je hodnosť koeficienty matice nie je rovná hodnosti rozšírenej matice , nie je riešenie . Neexistuje žiadny jedinečný súbor hodnôt , ktoré spĺňa požiadavky opísané v systéme rovníc . Systém rovníc nemožno vyriešiť . V prípade , že systém nemožno vyriešiť , systém je povedal , aby bol konzistentný .
Jedinečné riešenie
Tam je jediný , unikátny sada riešenie sústavy rovníc v prípade , že pozície z koeficientov matice je rovná hodnosti rozšírenej matice a sú obe rovná počtu stĺpcov matice koeficientov . K dispozícii je jedna sada hodnôt , ktoré spĺňa požiadavky opísané sústavy rovníc . Ak je unikátne riešenie , systém je povedal , aby bol nezávislý .
Nekonečný počet riešení
Sústava rovníc má nekonečne veľa riešení , v prípade , že hodnosť matice koeficientov sa rovná hodnosti rozšírenej matice a obaja sú menšie , než je počet riadkov v matici koeficientov . Thiery je nekonečne veľká množina hodnôt , ktoré spĺňajú požiadavky opísané sústavy rovníc . Ak existuje nekonečný počet riešení, systém je povedal , aby bol závislý .